Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 07.07.10Esercizio 1.a) Enunciare i teoremi di convergenza per i metodi di Jacobi e Gauss–Seidel, e dimostrareil teorema relativo al metodo di Jacobi (2+4 punti).Supponendo di simmetrizzare un sistema generico Ax = b nella forma A t Ax = A t b perrisolverlo con il metodo di Gauss–Seidel,b) calcolare la complessitá supplementare introdotta dalla simmetrizzazione nel caso diun sistema con matrice piena (2 punti);c) calcolare il condizionamento del sistema (nella norma ‖ · ‖ ∞ ) prima e dopo la simmetrizzazione,nel caso in cui ( )1 5A =−6 2(4 punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema relativo all’ordine di convergenza deimetodi iterativi per equazioni scalari nella forma x k+1 = g(x k ) ed applicarlo al metodo diNewton (5+2 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la strategia di interpolazione composita e fornirne una maggiorazione d’erroreper funzioni regolari (2+2 punti);b) supponendo di approssimare la funzione f(x) = 1/x per x ∈ [1, 6] mediante unainterpolazione composita di grado n = 1 a tratti, dire quanti nodi sono necessariperché l’errore non superi il valore 10 −3 (4 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema relativo al grado di precisione delle formule diGauss–Legendre (6 punti);b) approssimare l’integrale∫ 2−2e −x2 dxcon una quadratura di Gauss–Legendre a 5 punti (3 punti).201