Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

che é soddisfatta a maggior ragione setan t < 2¯tper una qualche costante ¯t > t. Utilizzando la condizione f ′ > 0 si puó porre ¯t = 3π/2da cui finalmente1x >arctan 4 ≈ 2.49.3πEsercizio 4.a) Poiché i due nodi sono simmetrici rispetto al punto centrale dell’intervallo [a, b], i pesiad essi associati sono uguali e valgono necessariamenteα 0 = α 1 = b − a2 .b) Ponendo h = (b − a)/4, e convenzionalmente a = −2h, b = 2h, si haω 1 (x) = x 2 − h 2e di conseguenza, poiché ω 1 ha un estremo locale in x = 0,‖ω 1 ‖ ∞ =max |ω 1(x)| = max(|ω 1 (−2h)|, |ω 1 (2h)|, |ω 1 (0)|) = 3h 2 .x∈[−2h,2h]D’altra parte, l’errore di quadratura si puó maggiorare nel modo piú ovvio integrandouna maggiorazione dell’errore di interpolazione, ad esempioc) Ponendo a = 0, b = π, nodi e pesi valgono|I − I 1 | ≤ 4h ‖f ′′ ‖ ∞‖ω 1 ‖ ∞ = 6h 3 ‖f ′′ ‖ ∞ .2La formula di quadratura fornisce quindiI 1 = π 2x 0 = π 4 , x 1 = 3π 4 , α 0 = α 1 = π 2 .(sin π 4 + sin 3π 4)= π √2 ≈ 2.2214.271