Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 18.09.09Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Eliminazione di Gauss con le principali strategie di pivotazione,e calcolarne la complessitá (4+2 punti);b) descrivere l’algoritmo di fattorizzazione di Doolittle in assenza di pivotazione (3 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di Newton per la soluzione di equazioni scalari, e le sue principalivarianti (3 punti);b) applicare il metodo di Steffensen all’equazionex 2 − a = 0in modo che il calcolo di una iterazione abbia la minore complessitá possibile (4 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle interpolazioni in una basegenerica (6 punti);b) definire la costante di Lebesgue e calcolarla nell’intervallo [−1, 1] per una base diLagrange di grado n = 1, prima nel caso in cui x 0 = −1, x 1 = 1, e poi nel caso in cuix 0 = −1/2, x 1 = 1/2 (2+2 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema sul grado di precisione delle formule di Gauss–Legendre (6 punti);b) approssimare l’integrale∫ 40e −x√ x dxapplicando la formula di Gass–Legendre a tre nodi (3 punti).178