Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Seguendo lo stesso principio usato per la fattorizzazione LU, si ha( ∏ ) 2.det A = det L · det L t = (det L) 2 = l iiIl calcolo del determinante a partire dalla matrice fattorizzata richiede quindi la complessitásupplementare di n prodotti.Esercizio 2.c) Dato che nel metodo di bisezione l’errore approssimativamente si dimezza ad ogniiterazione, si tratta di trovare un intervallo di applicazione del metodo delle cordeper il quale la costante di contrazione sia L < 1/2. Ad esempio si puó prendere[a, b] = [3/2, 2] (in questo intervallo la funzione cambia anche di segno), ottenendocon questa scelta la funzione di iterazione:g(x) = x − 437 (x3 − 5),per la quale si ha su [a, b] la costante di contrazioneL = max[a,b] |g′ (x)| = max[a,b]∣ 1 − 12 ∣ ∣∣∣37 x2 = |g ′ (2)| = 4837 − 1 ≈ 0.3.iEsercizio 4.b) Si allude ovviamente al fatto che dalla positivitá dei pesi discende che∑|α i | = ∑iiα i = b − ae questo permette di soddisfare la prima ipotesi del teorema di Polya.123