Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Per semplicitá consideriamo solo la dipendenza delle funzioni f e Φ dalla variabile y.La forma generale di un metodo di RK esplicito a q stadi é:⎧Φ(y) =⎪⎨q∑a i F i (y)⎛i=1⎞F ⎪⎩ i (y) = f ⎝y + b i h ∑ c ij F j (y) ⎠j 0, dalla (∗) si ha immediatamente che‖Φ(u) − Φ(v)‖ ≤[q∑q∑]|a i |‖F i (u) − F i (v)‖ ≤ |a i |L i ‖u − v‖i=1i=1che porta naturalmente ad individuare L Φ con il termine tra parentesi quadre. D’altraparte, per dimostrare la lipschitzianitá delle funzioni F i dalla loro definizione, operandonello stesso modo ed utilizzando la disuguaglianza triangolare, si ha⎛⎞ ⎛⎞‖F i (u) − F i (v)‖ ≤∥ f ⎝u + b i h ∑ c ij F j (u) ⎠ − f ⎝v + b i h ∑ c ij F j (v) ⎠j