Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 1.b) Si puó ad esempio definireLa Hessiana di questa funzione valef ε (x) = 2x 2 1 − x 1 x 2 + 4x 2 2 + 2x 1 + x2 2ε .( )4 −1H fε =−1 8 + 4 εEsercizio 2.b) Al primo passo, la matrice di Householder ha la struttura( )Q (1) 1 0t=0 Q n−1(∗)dove Q n−1 é una riflessione in dimensione n − 1 il cui vettore di Householder v é dato(supponendo ad esempio a 21 > 0) dav =⎛⎜⎝a 21 + √ a 2 21 + · · · + a2 n1a 31.a n1(√ )per il quale si ha ‖v‖ 2 = 2 a 2 21 + · · · + a 2 n1 + a 21 a221 + · · · + a 2 n1 , e da qui⎞⎟⎠Q n−1 = I n−1 − 2 vvt‖v‖ 2 =1= I n−1 −a 2 21 + · · · + a2 n1 + a ·21√a221 + · · · + a 2 n1⎛ (a 21 + √ ) 2 (a 2 21 + · · · + a2 n1 · · · a n1 a 21 + √ a 2 21 + · · · + a2 n1· ⎜⎝..a n1(a 21 + √ )a 2 21 + · · · + a2 n1 · · · a 2 n1) ⎞⎟⎠ .(∗∗)La trasformazione Q (1) é quindi definita da (∗), (∗∗).82
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 15.04.04Esercizio 1.a) Descrivere il metodo di fattorizzazione LU senza pivoting (5 punti);b) calcolarne la complessitá computazionale (3 punti);c) scrivere esplicitamente in forma di matrice, in funzione degli elementi della matriceA = (a ij ), la trasformazione di eliminazione della prima variabile dalle righe 2, . . . , ndi un sistema lineare Ax = b (4 punti).Esercizio 2.a) Descrivere i metodi iterativi di Jacobi e Gauss–Seidel per sistemi lineari (5 punti);b) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (6 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (6 punti).Supponendo di voler approssimare con il metodo delle corde le radici della equazionesin x = 0,b) determinare un intervallo (a, b) intorno alla radice ¯x = π in cui il metodo possa essereapplicato (3 punti);c) calcolare il coefficiente di contrazione del metodo e dire quante iterazioni sono necessarieper ottenere un errore non maggiore di 10 −4 per ogni x 0 ∈ (a, b) (4 punti).83
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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