Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.b) L’equazione si puó porre immediatamente nella forma di punto fissox = cos xper cui una possibile procedura iterativa di sostituzioni successive potrebbe esserex k+1 = cos x k .Si puó notare che poiché sup |g ′ (x)| = 1 il secondo membro non é una contrazione sututto R. Questo peró non é un problema se si pone x 0 in modo che ¯x < x 0 < π/2 (con¯x soluzione dell’equazione) in modo da evitare il punto π/2 in cui g ′ (x) = 1. In questomodo cos x é una contrazione nell’intorno sferico |x − ¯x| < |x 0 − ¯x|. Un’altra manieradi costruire una iterazione convergente é mediante il metodo di Newton, ponendox k+1 = x k + cos x k − x ksin x k.Anche in questo caso una buona approssimazione iniziale puó essere scelta nell’intervallo[¯x, π/2], in cui la funzione cos x−x é decrescente e concava (in queste condizioni,come é noto, il metodo di Newton converge in modo monotono). Il valore della radice,con sei decimali esatti, é¯x = 0.739085.Esercizio 3.c) Indicando con h il passo tra i nodi e con m il numero di sottointervalli (di ampiezza2h) in cui si divide l’intervallo [−π, π], si ha h = π/m ed il numero di nodi é 2m + 1.Applicando la stima di errore piú semplice si ha|f − Π 2 | ≤ 8 sup |f ′′′ |h 3 = 4 3! 3 h3da cui si ottiene( 3 · 10−3h ≤≈ 0.090864che corrisponderebbe, tenendo conto che il numero di nodi deve essere dispari, a 71nodi. Se invece si stima la quantitá ‖ω 2 ‖ ∞ , che compare nella maggiorazione di errore,piú precisamente (ad esempio come nell’esercizio 2 del 29.09.99), si ottiene) 13‖ω 2 ‖ ∞ = 2h33 √ 3da cui|f − Π 2 | ≤ 2 sup |f ′′′ |3!3 √ h 3 =h33 9 √ 3 .Per questa strada la condizione su h diviene(h ≤ 9 √ 3 · 10 −3) 1 3≈ 0.2498che corrisponde piú realisticamente a 27 nodi.56