Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.a) Si ha b 3 (z) = 1, b 2 (z) = 2 + b 3 (z)z, b 1 (z) = 1 + b 2 (z)z, b 0 (z) = 3 + b 1 (z)z. Laiterazione, una volta calcolati b 3 (x k ), . . . , b 0 (x k ), ha poi la formax k+1 = x k −b 0 (x k )b 1 (x k ) + b 2 (x k )x k + b 3 (x k )x 2 .kb) A destra dell’ultima radice la funzione é sicuramente crescente e convessa, quindi sesi sceglie x 0 in questa regione lo schema converge in modo monotono. Applicando adesempio il teorema di Cauchy sugli zeri di polinomi, si ottiene che poiché tutti gli zeriz di f(x) soddisfano|z| ≤ 1 + maxk≠n|a k ||a n |= 1 + max(2, 1, 3) = 4,una buona scelta potrebbe essere x 0 = 4. Ragionando in modo analogo per la regionea sinistra della prima radice (dove la funzione é crescente e concava), si potrebbescegliere allo stesso modo x 0 = −4.Esercizio 4.b) Si tratta di verificare che la funzione (che é quadratica) sia convessa. Poiché la matricehessiana( )2 1H f (x) =1 10é definita positiva, la funzione é effettivamente convessa e coercitiva ed il metododel rilassamento proiettato converge se applicato a questo problema. Per scrivereesplicitamente il metodo, si calcola alternativamente l’unico zero di ognuna delle duederivate parziali, che valgono:ottenendo quindi l’iterazione⎧⎪⎨⎪⎩f x1 = 2x 1 + x 2 + 10f x2 = 10x 2 + x 1 − 20( )x (k+1)1 = P [−∞,1] − x(k) 22 − 5(x (k+1)2 = P [−1,0] − x(k+1) 110+ 2).38