Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 04.07.12Esercizio 1.a) Descrivere l’algoritmo di Doolittle senza pivotazione (4 punti);b) costruire la fattorizzazione di Doolittle della matrice⎛A = ⎝ 3 0 1⎞−1 2 0 ⎠2 −1 4e dire se il MEG con pivotazione parziale avrebbe fornito un risultato diverso per ifattori L ed U (4+1 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di bisezione per equazioni scalari e fornirne il diagramma di flussoo lo pseudocodice (3 punti);b) enunciare e dimostrare il relativo teorema di convergenza (5 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare la maggiorazione di errore per l’interpolazione composita, nellasua forma piú generale (5 punti);b) supponendo di approssimare con una interpolazione composita di grado n = 1 a passocostante H la funzionef(x) = e xnell’intervallo [0, 3], dire quale deve essere il massimo valore del passo H per tenerel’errore di interpolazione sotto a 10 −2 su tutto l’intervallo (3 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema sul grado di precisione delle formule Gaussiane (6punti);b) approssimare l’integrale∫ 1−3|x|dxcon una formula di Gauss–Legendre a 5 nodi (3 punti).227