Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 14.09.00Esercizio 1. Derivare la formula di fattorizzazione di Doolittle di una matrice quadrataA e dire in quale sequenza vanno considerati i suoi elementi (5 punti).Esercizio 2.a) Dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione (6 punti).b) Costruire la base dei polinomi di Lagrange di secondo grado relativi ai nodi x 0 = 1,x 1 = 2, x 2 = 3 (3 punti).c) Stimare la norma ‖ω 2 ‖ ∞ per il polinomio ω 2 (x) relativo ai nodi del punto precedente(4 punti).Esercizio 3.a) Basandosi sui polinomi costruiti nell’esercizio 2.b, calcolare i pesi di una formula diquadratura di Newton–Cotes aperta a tre nodi sull’intervallo [0, 4h] (4 punti).b) Dire qual é il suo ordine di precisione (2 punti).Esercizio 4.a) Dato il seguente schema multistep (detto metodo di Simpson):u j+1 = u j−1 + h 3 [f(x j−1, u j−1 ) + 4f(x j , u j ) + f(x j+1 , u j+1 )](∗)dire se appartiene alla classe dei metodi di Adams e dare una interpretazione euristicadella sua costruzione (2 punti).b) Utilizzando l’equazione di Volterra, dimostrare che ha ordine di consistenza 4 (4 punti).c) Dato il sistema differenziale in R n :y ′ (x) = Ay(x)con A definita negativa, scrivere il sistema lineare che va risolto ad ogni passo delloschema (*) per trovare il vettore u j+1 e dire se sono necessarie (ed eventualmentequali) condizioni sul passo h perché la matrice di tale sistema sia nonsingolare (2+3punti).29