Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 4.a) Trattando la derivata seconda mediante rapporto incrementale secondo centrato, e laderivata prima con la differenza all’indietro ed in avanti (e limitandosi ai nodi interni),si ottiene rispettivamente˙u j =nel caso della differenza all’indietro, e( εh h)2 + 1 ( 2εu j−1 −h 2 + 1 )u j + ε h h 2 u j+1˙u j = ε h 2 u j−1 −( 2εh 2 − 1 ) ( εu j +h h h)2 − 1 u j+1nel caso della differenza in avanti.b) Nel primo caso i dischi di Gershgorin della matrice A h hanno centro nei puntie raggioa ii = − 2εh 2 − 1 hr i = ε h 2 + 1 h + ε h 2 = 2εh 2 + 1 he sono quindi interamente contenuti nel semipiano dei complessi a parte reale negativa.c) Nel secondo caso i dischi hanno centroe raggioa ii = − 2εh 2 + 1 hr i = ε ∣ ∣∣∣h 2 + εh 2 − 1 h∣ .In questo caso, perché i dischi siano interamente contenuti nel semipiano a parte realenegativa é necessario che− 2εh 2 + 1 h + ε ∣ ∣∣∣h 2 + εh 2 − 1 h∣ ≤ 0,condizione soddisfatta se e solo se h ≤ ε. Si osserva quindi che l’introduzione diun termine di secondo ordine permette allo schema di restare stabile (a patto che ilpasso h sia abbastanza piccolo) anche se la differenza prima é effettuata dalla parte”sbagliata”.36