Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.c) Si tratta di effettuare sulla matrice identitá le stesse operazioni di sostituzione di unariga con la combinazione lineare delle precedenti. Si ha quindi:⎛⎞1 0 0 · · · 0− a 21111 0 · · · 0T =− a 31a 110 1 · · · 0⎜⎝. ⎟. . . .. . ⎠− a n1a 110 0 · · · 1Esercizio 3.b, c) Si puó ad esempio scegliere a = 3π/4, b = 5π/4; il metodo delle corde in questo casoprende la forma x k+1 = g(x k ), cong(x) = x −π2− √ 2 sin x = x +ed il coefficiente di contrazione del metodo éπ2 √ 2 sin x∣ ∣∣∣L = sup |g ′ (x)| = sup 1 + π ∣ ∣∣∣[a,b][ 3π 4 , 5π 4 ] 2 √ 2 cos x =(= max 1 − π2 √ πcos π, 1 −(π2 2 √ 2 cos ± π ) ) = 1 − π 4 4 ≈ 0.215.La precisione richiesta si ottiene quandoπ4 Lk < 10 −4(dove π/4 é la massima distanza dell’approssimazione iniziale dalla soluzione), ovveroalla sesta iterazione. Piú rozzamente, il massimo errore iniziale si sarebbe potutostimare con b − a, ed in questo caso l’errore richiesto sarebbe stato ottenuto entro lasettima iterazione.84