Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

) Si tratta di verificare che, data una funzione regolare u(x), si abbiau xx (x j ) = a −2 u(x j − 2h) + a −1 u(x j − h) + a 0 u(x j ) + a 1 u(x j + h) + a 2 u(x j + 2h) + o(1).(∗∗)Per dimostrare le condizioni che portano alla consistenza (di fatto si tratta di provarela consistenza del primo ordine, poiché il resto o(1) é in realtá O(h)) si parte daglisviluppi di Tayloru(x j ± h) = u(x j ) ± hu x (x j ) + h22 u xx(x j ) + O(h 3 )u(x j ± 2h) = u(x j ) ± 2hu x (x j ) + 2h 2 u xx (x j ) + O(h 3 ).Utilizzando questi sviluppi in (∗∗) e imponendo che il secondo membro coincida conu xx (x j ) a meno di infinitesimi (di primo ordine), si ottengono le condizioni di consistenza⎧⎨ a −2 + a −1 + a 0 + a 1 + a 2 = 0−2a −2 − a −1 + a 1 + 2a 2 = 0(∗ ∗ ∗)⎩2h 2 a −2 + h22 a −1 + h22 a 1 + 2h 2 a 2 = 1.c) I rapporti incrementali secondi utilizzati sono quello centrato in x j−1 ,e quello centrato in x j+1 ,u(x j−2 ) − 2u(x j−1 ) + u(x j )h 2 ,u(x j ) − 2u(x j+1 ) + u(x j+2 )h 2 .Effettuando la media aritmetica dei due, come richiesto dall’esercizio, si ottiene laapprossimazioneu xx (x j ) ≈ 12h 2 u(x j−2) − 1 h 2 u(x j−1) + 1 h 2 u(x j) − 1 h 2 u(x j+1) + 12h 2 u(x j+2)che é nella forma di una differenza centrata a cinque punti e soddisfa il sistema (∗ ∗ ∗)delle condizioni di consistenza (come é immediato verificare).d) Osserviamo intanto che il sistema (∗ ∗ ∗) ammette infinite soluzioni, é quindi verosimileche ci sia margine per ottenere un ordine piú alto di consistenza. Utilizzandoun termine in piú negli sviluppi ed annullando il termine di derivata terza nella approssimazione(questo permette di ottenere un resto infinitesimo di secondo ordine),si ottiene la ulteriore condizione da aggiungere al sistema (∗ ∗ ∗):− 4 3 a −2 − 1 6 a −1 + 1 6 a 1 + 4 3 a 2 = 0.D’altra parte, si verifica facilmente che la formula costruita al punto (c) soddisfa anchequesta ultima condizione, ed é quindi consistente (almeno) con ordine 2.76