Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre verificare che il determinante dei minori principali sia nonnegativo. Per ilminore di ordine 1 la cosa é ovvia, mentre per il minore di ordine 2 si ha la condizioneα 2 ≤ 5, ovvero− √ 5 ≤ α ≤ √ 5.Per il minore di ordine 3 (la matrice completa) si ottiene la condizione 3α 2 ≤ 11,ovvero√ √11 11−3 ≤ α ≤ 3 ,disuguaglianza che include anche la precedente.Esercizio 3.b) Dovendo scrivere i polinomi interpolatori di grado crescente, conviene utilizzare laforma di Newton. Le differenze divise di interesse sono:f[1] = 1,f[1, 2] = 16,f[1, 2, 3] = 24.5,f[1, 2, 3, 4] = 10.1¯6,f[1, 2, 3, 4, 5] = 0.958¯3.I polinomi interpolatori richiesti sono quindiΠ 1 (x) = 1 + 16(x − 1)Π 2 (x) = 1 + 16(x − 1) + 24.5(x − 1)(x − 2)Π 3 (x) = 1 + 16(x − 1) + 24.5(x − 1)(x − 2) + 10.1¯6(x − 1)(x − 2)(x − 3)Π 4 (x) = 1 + 16(x − 1) + 24.5(x − 1)(x − 2) + 10.1¯6(x − 1)(x − 2)(x − 3)+0.958¯3(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)Esercizio 4.a) Ci si puó porre per comoditá nell’intervallo di riferimento [−2, 2], con passo unitariotra i nodi. Poiché la formula é a nodi simmetrici, basterá calcolare uno solo dei pesi,ad esempio il peso w 1 relativo al nodo centrale x 1 = 0. Si hada cuiw 1 =∫ 2−2L 1 (x) = 1 − x 2[ x3L 1 (x)dx = . . . = 4 −3] 2−2Di conseguenza gli altri pesi avranno il valorew 0 = w 2 = 1 (4 + 4 )= 8 2 3 3 .= 4 − 163 = −4 3 .51