Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 15.09.03Esercizio 1. Dato il sistema lineare Ax = b e scritto il metodo di Jacobi ad esso applicatocome x J k+1 = B Jx J k, si consideri il metodo iterativox k+1 = (1 − ω)x k + ωB J x k .(∗)Data la matrice A come⎛A = ⎝ 2 1 0⎞3 10 5 ⎠2 1 4a) si dica se il metodo di Jacobi é convergente con tale matrice (2 punti);b) si dica, in funzione di ω ∈ R, se il metodo (∗) é convergente (3 punti).c) si dia una condizione generale di convergenza per il metodo (∗) nella norma ‖ · ‖ ∞ (4punti).Esercizio 2.a) Si enunci e si dimostri il teorema di convergenza quadratica per il metodo di Newton(5 punti);b) si trovi l’intervallo di convergenza (eventualmente non ottimale) per il metodo diNewton, applicato all’equazionesin 1 x = 0nell’intorno della radice ¯x = 1/π (4 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di rappresentazione dell’errore di interpolazione (6punti);b) enunciare il teorema di convergenza per la interpolazione sui nodi di Chebyshev (2punti).Esercizio 4.a) Costruire una formula di quadratura aperta sull’intervallo [a, b] basata sui nodi x 0 =a + (b − a)/4 e x 1 = b − (b − a)/4 (3 punti);b) stimare l’errore di quadratura (4 punti);c) Integrare con questa formula la funzione f(x) = sin(x) fra 0 e π (2 punti).68