Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Si ha A = LL t con⎛L = ⎝ 5 0 0⎞2 1 0 ⎠ .3 1 3Esercizio 2.b) La radice di questa equazione (come si puó verificare con una tabulazione sommaria)é compresa tra 3/2 e 2. Utilizzando ad esempio questi due punti come estremi per ilmetodo delle corde, si ottiene f(a) = f(1.5) = −1.375, f(b) = f(2) = 1, e la funzionedi iterazione del metodo delle corde (calcolata con sei decimali) ha perció la formag(x) = x − 0.210526 f(x).Nell’intervallo considerato, la sua derivata g ′ (x) é decrescente e non ha estremi interni,si ha quindi−0.473682 = g ′ (2) ≤ g ′ (x) ≤ g ′ (1.5) = 0.421054ed il metodo é convergente.Esercizio 3.b) Messa la retta nella forma y = ax + b, il sistema delle equazioni normali é⎧⎪⎨a ∑ x 2 i + b ∑ x i = ∑ x i y iiii⎪⎩a ∑ ix i + b ∑ i1 = ∑ iy icioé, con i dati della tabella,{ 6.9 a − 0.6 b = −6.02−0.6 a + 7 b = −0.4la cui soluzione, con sei cifre decimali, é a = −0.884022, b = −0.132916.c) Indicata con A = Φ t Φ la matrice del sistema, si haA −1 = 147.94( )7 0.6.0.6 6.9e calcolando il condizionamento ad esempio nella norma ‖ · ‖ ∞ ,K ∞ (A) = ‖A‖ ∞ ‖A −1 ‖ ∞ = 7.6247.94 ≈ 1.205.137