Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.a) Si tratta di verificare che la Jacobiana del sistema,()2xJ F (x 1 , x 2 ) =1 2x 2− π 2 cos πx 121é non singolare in un intorno della soluzione. Si ha infattiJ F (1, 1) =( )2 2.0 1b) La scelta ”ideale” sarebbe quella di porre P = J F (¯x) −1 , ovveroP = J F (1, 1) −1 =( )1/2 −10 1con la quale si otterrebbe convergenza quadratica. Piú realisticamente, si puó porreP = J F (x (0) ) −1 per un x (0) sufficientemente vicino a ¯x.Esercizio 4.b) Si ha:⎛102 − a ∆t12∆x0 · · · 0 02 + a ∆t ⎞2∆x12 + a ∆t12∆x02 − a ∆t2∆x0 · · · 0 0102 + a ∆t12∆x02 − a ∆t2∆x0 · · · 010 02 + a ∆t12∆x02 − a ∆t2∆x· · · 0A =. 0 · · · 0 .. .0 .. 01⎜ 0 0 · · · 02 + a ∆t12∆x02 − a ∆t2∆x⎝ 12 − a ∆t12∆x0 0 · · · 02 + a ⎟∆t2∆x0 ⎠102 − a ∆t12∆x0 0 · · · 02 + a ∆t2∆xc) La condizione di stabilitá richiesta equivale ad imporre che gli autovalori di A sianonel disco unitario, in modo che le loro potenze successive non divergano. I dischi diGershgorin della matrice hanno tutti centro nell’origine e raggior =1∣2 + a ∆t∣ ∣∣∣ 2∆x∣ + 12 − a ∆t2∆x∣ = 1 2 + a ∆t ∣ ∣∣∣2∆x + 12 − a ∆t2∆x∣120