Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

More documents

Recommendations

Info

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 02.11.09Esercizio 1.a) Esporre la costruzione del metodo di Newton per sistemi di equazioni nonlineari,enunciando il relativo risultato di convergenza (3 punti).Dato il sistema nonlineare {y 2 − cos 2 x = 0x − sin y = 0b) scrivere il metodo di Newton per la sua soluzione, nella forma senza inversione dimatrice (2 punti);c) determinata una approssimazione iniziale sufficientemente vicina alla soluzione positiva,scrivere il metodo di Newton approssimato ottenuto calcolando la matrice Jacobianasono in questo punto e verificare se é una contrazione nell’intorno della soluzione(2+5 punti);d) individuare per il sistema una forma di punto fisso che non richieda il calcolo dellederivate e verificare che sia una contrazione intorno alla soluzione positiva (3 punti).Esercizio 2.a) Descrivere la strategia di ricerca unidimensionale esatta per bisezione, mettendo inluce le ipotesi e la dinamica per cui ad ogni iterazione l’intervallo selezionato continuaa contenere il punto di minimo (4 punti).Data la funzione a variabili separate f(x 1 , x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ), si supponga di estendere adue dimensioni il metodo di bisezione effettuando il prodotto cartesiano di due suddivisioniunidimensionali e selezionando da questa griglia di punti ad ogni iterazione il punto diminimo piú gli otto punti circostanti.b) Scrivere il metodo di bisezione bidimensionale corrispondente a questa strategia, informa di diagramma di flusso o pseudocodice (4 punti);c) spiegare perché ad ogni iterazione l’intervallo selezionato continua a contenere il puntodi minimo se la f(x 1 , x 2 ) ha la struttura data, e perché questo puó non essere veroper una funzione di struttura generale (3+3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza n–passi dei metodi di DirezioniConiugate applicati a funzioni quadratiche (6 punti);b) esporre la costruzione del metodo del Gradiente Coniugato e le sue principali variantiper funzioni non quadratiche (3 punti).180
SoluzioniEsercizio 1.b) Si ha, dopo aver calcolato la Jacobiana in (x k , y k ):( ) ( ) ( )2 sin xk cos x k 2y k xk+1 − x k y2= − k− cos 2 x k1 − cos y k y k+1 − y k x k − sin y k .c) Da un sommario studio grafico si vede che la soluzione é strettamente all’internodell’intervallo [0, 1] 2 . Una approssimazione iniziale per cui si ottengono calcoli relativamentesemplici é (x 0 , y 0 ) = (π/4, π/4). La Jacobiana e la sua inversa valgono inquesto puntoJ F (x 0 , y 0 ) =( )1 π/21 − √ , J2/2 F (x 0 , y 0 ) −1 = −√ 2 ( √− 2/22 + π −1 1Il metodo delle corde, con questa scelta, ha la forma( ) ( )xk+1 xk= +y k+1 y k( √2 − 2/2 −π/2√2 + π −1 1−π/2) ( )y2k− cos 2 x k.x k − sin y kNon viene invece calcolata la costante di Lipschitz del secondo membro, che richiedeun calcolo molto complesso.d) Tenendo conto che ci si restringe al quadrante positivo, possiamo riscrivere il sistemanella forma{ x = sin yy = cos x,dove il secondo membro T (x, y) ha una jacobiana data daJ T (x, y) =( )0 cos y,− sin x 0e quindi é possibile determinare un intorno della soluzione in cui entrambi i termininonnulli di J T (e quindi sia ‖J T ‖ 1 che ‖J T ‖ ∞ ) sono minori di 1.Esercizio 2.c) In realtá, data la struttura della funzione, si potrebbe applicare la bisezione prima suuna variabile e poi sull’altra, ottenendo comunque chiaramente il risultato corretto.Quindi, applicare l’algoritmo proposto porta ad effettuare sull’intervallo iniziale glistessi dimezzamenti successivi che sarebbero effettuati appicando due bisezioni unidimensionaliin sequenza. Nel caso invece di una funzione di struttura generale, non épiú vero ad esempio che, fissato un valore ¯x 1 per x 1 , l’intervallo della variabile x 2 checontiene il min x2 f(¯x 1 , x 2 ) sia lo stesso che contiene min x f(x 1 , x 2 ), che corrisponde ingenerale ad un altro valore della variabile x 1 .181).
Page 1 and 2:
Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
Page 3 and 4:
SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
Page 5 and 6:
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
Page 7 and 8:
Lo schema é quindi di secondo ordi
Page 9 and 10:
SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
Page 11 and 12:
SoluzioniEsercizio 1.a) La fattoriz
Page 13 and 14:
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
Page 19 and 20:
SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
Page 45 and 46:
SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
dove si sono indicate rispettivamen
Page 51 and 52:
SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
Page 53 and 54:
SoluzioniEsercizio 1.c) L’equazio
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Nella fattorizzazione di Cholesky,
Page 61 and 62:
SoluzioniEsercizio 1.b) Le differen
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
La soluzione cercata é quindi data
Page 67 and 68:
SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
Page 69 and 70:
SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
Page 71 and 72:
che é soddisfatta a maggior ragion
Page 73 and 74:
SoluzioniEsercizio 2.c) Notiamo int
Page 75 and 76:
SoluzioniEsercizio 2.b) Si tratta d
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
é noto dalla teoria generale che l
Page 89 and 90:
SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
In particolare, per n = 3, 5, 7 si
Page 95 and 96:
SoluzioniEsercizio 2.b) Ricordiamo
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
e di conseguenza della Φ. Questo c
Page 103 and 104:
SoluzioniEsercizio 1.a) Procedendo
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
e la costante di contrazione richie
Page 113 and 114:
SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cif
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Se l’argomento del valore assolut
Page 123 and 124:
SoluzioniEsercizio 1.b) Seguendo lo
Page 125 and 126:
SoluzioniEsercizio 3.b) Si tratta d
Page 127 and 128:
SoluzioniEsercizio 2.c) In un gener
Page 129 and 130: SoluzioniEsercizio 1.c) Nel caso in
Page 131 and 132: SoluzioniEsercizio 1.b) La approssi
Page 133 and 134: SoluzioniEsercizio 2.b) Poiché l
Page 135 and 136: SoluzioniEsercizio 2.b) Posto il me
Page 137 and 138: SoluzioniEsercizio 1.b) Si ha A = L
Page 139 and 140: SoluzioniEsercizio 1.a) La matrice
Page 141 and 142: ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) -
Page 145 and 146: ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) - 1
Page 147 and 148: D’altra parte, si ha∣max |f ∣
Page 149 and 150: SoluzioniEsercizio 2.b) Definendo a
Page 151 and 152: SoluzioniEsercizio 1.b) La matrice
Page 167 and 168: Tenendo conto delle relazioni di si
Page 169 and 170: SoluzioniEsercizio 1.b) Al primo pa
Page 173 and 174: c) Dato per buono che, per simmetri
Page 175 and 176: SoluzioniEsercizio 2.b) Ovviamente
Page 179: SoluzioniEsercizio 2.b) Scrivendo i
Page 183 and 184: SoluzioniEsercizio 1.c) La funzione
Page 189 and 190: da cui si ottiene la maggiorazione
Page 191 and 192: SoluzioniEsercizio 3.b) Indicando c
Page 193 and 194: SoluzioniEsercizio 2.b) Il sistema
Page 195 and 196: SoluzioniEsercizio 1.b) Nella base
Page 209 and 210: ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN420)
Page 213 and 214: ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) -
Page 231 and 232:
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) -
Page 233 and 234:
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN410)
Page 235 and 236:
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN410)
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241:
show all

Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?