Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 14.06.11Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (5 punti);b) Dato il sistema lineare, dipendente dal parametro reale α:{ αx1 + 2x 2 = 52x 1 + 3αx 2 = 1,dare le condizioni su α sufficienti a garantire la convergenza dei metodi rispettivamentedi Jacobi, di Gauss–Seidel, SOR e di Richardson (2+2+2+2).Esercizio 2.(5 punti).Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di bisezioneEsercizio 3.a) Enunciare la formula di rappresentazione dell’errore di interpolazione e derivarne unamaggiorazione di errore per le interpolazioni composite (5 punti);b) Maggiorare l’errore per una interpolazione composita di grado rispettivamente n = 1e n = 2 della funzione f(x) = e −x2 sull’intervallo [−1, 1] con 21 nodi equidistanti (3+3punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per le formule di Newton–Cotescomposite (5 punti);b) approssimare l’integrale∫ 61ln xdxcon una formula dei trapezi composita su 5 sottointervalli (2 punti).212