Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) La radice quadrata di a é la soluzione positiva dell’equazionef(x) = x 2 − a = 0per la quale il metodo di Newton ha la formax k+1 = x k − x2 k − a2x k= 1 2(x k + a x k).Poiché nel semiasse positivo la f é convessa e crescente, per avere convergenza bastaprendere x 0 > √ a, ad esempio x 0 = max(1, a).Esercizio 3. Indicando con h la semiampiezza dell’intervallo [a, b], la base di Lagrangerelativa ai tre punti in considerazione éL 0 (β) =L 1 (β) =L 2 (β) =(β − b)(β − c)(a − b)(a − c) = β2 − (2a + 3h)β + (a + 2h)(a + h)2h 2(β − a)(β − b)(c − a)(c − b) = − (2a + 2h)β + a(a + 2h)−β2 h 2(β − a)(β − c)(b − a)(b − c) = β2 − (2a + h)β + a(a + h)2h 2 .La derivata del polinomio di Lagrange rispetto a β é data daϕ 0 L ′ 0(β) + ϕ 1 L ′ 1(β) + ϕ 2 L ′ 2(β) == ϕ 02h 2 (2β − 2a − 3h) − ϕ 1h 2 (2β − 2a − 2h) + ϕ 2(2β − 2a − h) = · · · =2h2 = β − ah 2 (ϕ 0 − 2ϕ 1 + ϕ 2 ) − 1 h 2 (3h 2 ϕ 0 − 2hϕ 1 + h 2 ϕ 2).La condizione di annullamento della derivata fornisce quindiEsercizio 4.b) Si puó porre ad esempioβ = a + hf ε (x) = (x 1 − 1) 2 + 3(x 2 + 2) 2 + 1 ε32 ϕ 0 − 2ϕ 1 + 1 2 ϕ 2ϕ 0 − 2ϕ 1 + ϕ 2.[(|x 1 | − 1) +2 + (|x 2 | − 1) +2]ed in questo caso la funzione penalizzata é somma di termini convessi e risulta quindiconvessa.b) Un possibile metodo primale per problemi in questa forma é il metodo di rilassamentocon proiezione.34