Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Nella base scelta, la matrice Φ ha la forma⎛ √ √ ⎞1 2/2 2/21 √1 √01 2/2 − 2/21 0 −1Φ =1 − √ 2/2 − √ 2/2⎜ 1 −1 0⎝1 − √ √ ⎟⎠2/2 2/21 0 1ed a conti fatti per il sistema delle equazioni normali si ottiene la matrice diagonale:⎛A = ΦΦ t = ⎝ 8 0 0⎞0 4 0 ⎠0 0 4ed il vettore dei termini noti (calcolato con tre decimali)b = Φ t y =⎛⎝ 105.4⎞−6.375 ⎠ .−11.893Il sistema é diagonale, e (anche se non richiesto dall’esercizio) puó essere immediatamenterisolto fornendo la soluzione a 1 = 13.175, a 2 = −1.594, a 3 = −2.973.c) Costruiamo la tabella mantenendo le tre cifre significative dei dati. Si ha, per ledifferenze di primo ordine:T [x 0 , x 1 ] = 0.0667, T [x 1 , x 2 ] = 1.5, T [x 2 , x 3 ] = 0.6, T [x 3 , x 4 ] = −0.1,T [x 4 , x 5 ] = −0.7, T [x 5 , x 6 ] = −0.7, T [x 6 , x 7 ] = −0.367,in cui si presenta sempre cancellazione di cifre significative.secondo ordine si ha invece:Per le differenze delT [x 0 , x 1 , x 2 ] = 0.239, T [x 1 , x 2 , x 3 ] = 0.15(∗), T [x 2 , x 3 , x 4 ] = −0.117,T [x 3 , x 4 , x 5 ] = −0.1, T [x 4 , x 5 , x 6 ] = 0(∗), T [x 5 , x 6 , x 7 ] = 0.556,in cui si sono segnalate con l’asterisco le (ulteriori) cancellazioni di cifre significative.Esercizio 2.195