Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) La matrice del sistema diviene a diagonale dominante una volta scambiate le primedue righe. Con questo scambio, il metodo di Jacobi é convergente e piú precisamentela matrice di iterazione é data da⎛⎞0 1/3 1/3B J = ⎝ 1/5 0 −3/5 ⎠ ,−1/2 1/10 0per la quale si ha ‖B J ‖ 1 = 14/15 e ‖B J ‖ ∞ = 4/5.Esercizio 2.b) Ovviamente va bene ogni intervallo che includa il punto π. Tenendo conto che 2 10 ≈10 3 , si ha (1/2) 20 ≈ 10 −6 e la precisione richiesta si ottiene dopo 20 iterazioni.Esercizio 3.b) Notiamo intanto che, se i nodi sono numerati in modo consecutivo e le differenze divisevengono effettuate tra nodi consecutivi, tutte le differenze divise di ordine 1 sono nullemeno quella relativa alla coppia di nodi x l , x m adiacenti all’origine, per la quale si haf[x l , x m ] = 2∆x .Per le differenze di secondo ordine tra nodi consecutivi, applicando la definizioneoccorre effettuare una ulteriore divisione per 2∆x. Ne deriva quindi che tutte quellein cui compare la differenza f[x l , x m ] saranno O(∆x −2 ), mentre le altre saranno nulle.Proseguendo in questo modo si ha che le differenze di ordine generico j soddisferannola condizione di essere O(∆x −j ) a patto che i nodi x l e x m siano compresi tra gliargomenti. Ma questo accade sicuramente per la differenza di ordine massimo k.177