Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 3.b) Ricordiamo che la condizione di stabilitá assoluta per gli schemi in questione si scrive|1 − (a 1 + a 2 )hλ + ba 2 h 2 λ 2 | ≤ 1e che per ottenere la consistenza (di primo ordine) é necessario che a 1 + a 2 = 1.Ponendo per semplicitá hλ = t, ba 2 = α, si deve quindi studiare la condizione|1 − t + αt 2 | ≤ 1,cercando un intervallo del tipo [0, ¯t] in cui essa sia soddisfatta, e massimizzando alvariare di α il valore ¯t. Consideriamo prima la disuguaglianza1 − t + αt 2 ≤ 1che é soddisfatta per 0 ≤ t ≤ 1/α = ¯t 1 . Considerando poi la seconda disuguaglianza,1 − t + αt 2 ≥ −1,si ha che essa é identicamente soddisfatta per α ≥ 1/8, ed é soddisfatta nell’intervallo[0, 1 − √ ]1 − 8α= [0, ¯t 2 ]2αaltrimenti. Ora, osserviamo che ¯t 1 é decrescente rispetto ad α. Per α < 1/8, invece, ¯t 2é crescente rispetto ad α e si ha ¯t 2 < ¯t 1 , mentre per α ≥ 1/8 formalmente puó essereposto t 2 = +∞. Si ottiene quindi che ¯t = min(¯t 1 , ¯t 2 ) viene massimizzato appunto conla scelta α = 1/8, ovvero per quanto riguarda i parametri dello schema:a 1 + a 2 = 1, ba 2 = 1 8 .80
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 16.02.04Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di penalizzazione (6punti);b) dato il problema vincolatominS(2x 2 1 − x 1 x 2 + 4x 2 2 + 2x 1 ), S = {x ∈ R 2 : x 2 = 0}darne una formulazione approssimata per penalizzazione e calcolare il numero di condizionamentodella Hessiana di f ε in funzione del parametro di penalizzazione (5punti).Esercizio 2.a) Esporre il metodo di Householder per la tridiagonalizzazione di una matrice simmetrica(4 punti);b) data la matrice quadrata A = (a ij ), scrivere in funzione dei suoi elementi la primatrasformazione Q (1) effettuata dal metodo di Householder (4 punti).Esercizio 3.a) Dare la definizione di ordine di consistenza e di stabilitá assoluta degli schemi ad unpasso per Equazioni Differenziali Ordinarie (2 punti);b) dimostrare che lo schema di Crank–Nicolson é assolutamente stabile ed ha il secondoordine di consistenza (3+3 punti).Esercizio 4. Esporre il metodo ”upwind” di primo ordine per equazioni del trasporto acoefficienti costanti (6 punti).81
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