Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.a) Procedendo come nell’esercizio 1 del 15.04.04, e ricordando che la matrice su cui sista operando non é A bensí A (i) , si ha⎛1T i =⎜⎝. ..1− a(i) i+1,ia (i)ii.− a(i) nia (i)iiin cui si sono indicati solo gli elementi non nulli, e la colonna modificata della matriceidentitá é la i–sima.b) Supponiamo j > i e consideriamo il prodotto T = T j T i con lo stesso ordine con cuiviene effettuata l’eliminazione delle variabili. La struttura delle matrici implica chegli unici elementi non nulli del prodotto, oltre agli elementi unitari sulla diagonale,sono gli elementi del triangolo inferiore, sulle colonne i e j. Poiché le prime j righedella matrice T j corrispondono a quelle della matrice identitá, le prime j righe di Tcorrispondono a quelle della matrice T i . Sulla generica riga k–esima di T j , con k > j,gli elementi non nulli sono quelli nelle colonne j e k, mentre sulla l–esima colonna diT i gli elementi non nulli sono l’elemento l–esimo e, se l = i, tutti i successivi. Perk > j si ha quindi⎧0 se l ≠ i, j, ka⎪⎨(j) a (i)kj ji− a(i)at kl =(j) a (i)kise l = ia (i)jj ii ii− a(j) kjse l = j⎪⎩a (j)jj1 se l = k.. ..⎞⎟⎠1c) Indicata con C la matrice prodotto, si tratta di verificare che⎛1C =⎜⎝. ..1− a(i) i+1,ia (i)ii.− a(i) nia (i)ii. ..⎞ ⎛1⎟ ⎜⎠ ⎝1. ..1a (i)i+1,ia (i)ii.a (i)nia (i)ii. ..⎞= I.⎟⎠1Ora, é del tutto ovvio che le prime i righe della matrice C coincidano con quelle dellamatrice identica. Per la generica riga k–sima, con k > i, gli elementi non nulli nei due103