Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 09.11.01Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi per la soluzione di equazioni nonlineari in R, con enfasiparticolare sui metodi che non richiedono il calcolo delle derivate e sulle proprietá diconvergenza (6 punti).b) Si supponga di dover approssimare, nell’intervallo [0, 5] le radici della equazionesin 1 x = 0mediante il metodo delle corde, preceduto da una fase di tabulazione con passo ∆x =0.01. Si supponga inoltre che il metodo delle corde venga direttamente applicato suogni sottointervallo di tabulazione in cui avviene un cambio di segno della funzione.Basandosi sul fatto che in ogni sottointervallo ci sia un solo cambio di segno e sullacontrattivitá del metodo delle corde, stimare quante radici vengono calcolate in modoattendibile (6 punti).Esercizio 2.a) Scrivere esplicitamente il metodo di Horner per il calcolo delle radici del polinomiof(x) = x 3 + 2x 2 + x + 3 (4 punti).b) Dare un punto iniziale x 0 per il quale il metodo sia sicuramente convergente (3 punti).Esercizio 3. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di discesadel gradiente con ricerca esatta (6 punti).Esercizio 4.a) Descrivere il metodo del rilassamento proiettato ed enunciarne il teorema di convergenza(4 punti).b) Scrivere esplicitamente il metodo del rilassamento proiettato per il problema min S f(x),conf(x) = (x 1 + 5) 2 + 5(x 2 − 2) 2 + x 1 x 2 , S = {x ∈ R n : x 1 ≤ 1, −1 ≤ x 2 ≤ 0}discutendo preventivamente la sua applicabilitá (4 punti).37