Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 04.07.05Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di discesa piú ripida(6 punti);b) descrivere le principali strategie di scelta del passo (3 punti);Esercizio 2.Dato il sistema nonlineare{ x21 + x 2 2 − 2 = 0x 2 − sin πx 12= 0a) dire se la soluzione (1, 1) é ottenibile mediante il metodo di Newton e scriverne esplicitamentela iterazione in forma di sistema lineare (3 punti);b) scrivere una versione approssimata (e convergente) dello stesso metodo nella formax (k+1) = x (k) − P F (x (k) )per una opportuna matrice costante P (4 punti).Esercizio 3. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza degli schemi ad un passoespliciti per problemi di Cauchy (6 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di Lax–Richtmeyer (6 punti);Data l’equazione del trasportou t + au x = 0con condizioni periodiche u(0, t) = u(1, t), e lo schema completamente discretou k+1j= 1 2 (uk j−1 + u k j+1) − a ∆t2∆x (uk j+1 − u k j−1) (j = 1, . . . , N)in cui vengano identificati i nodi x 1 e x N ,b) porre lo schema nella forma matriciale U k+1 = AU k specificando la matrice A(∆t, ∆x)(3 punti);c) dare la condizione di stabilitá (intesa nel senso della equilimitatezza degli autovaloridi A k al variare di k) in funzione dei passi di discretizzazione (5 punti).119