Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.a) Utilizziamo la maggiorazione|f(x) − P 2 (x)| ≤ ‖f ′′′ ‖ ∞‖ω 2 ‖ ∞ .3!Dal momento che f ′′′ (x) = − cos x, si ha ‖f ′′′ ‖ ∞ = 1, ed inoltreω 2 (x) = (x + a)x(x − a) = x 3 − a 2 x.I due punti stazionari, come é facile verificare, sono ±a/ √ 3, e se a = 1, poichéω 2 (±1) = 0, il massimo modulo si avrá in un punto stazionario, ovvero‖ω 2 ‖ ∞ = |ω 2 (±a/ √ 3)| = 2a33 √ 3 = 23 √ 3 ≈ 0.39.Di conseguenza l’eerore puó essere maggiorato come|f(x) − P 2 (x)| ≤ 23 √ 33! ≈ 0.065.b) Si é giá calcolato al punto precedente il valore di ω 2 nei punti stazionari per una generico. Se a ≠ 1, occorre tenere in conto anche il valore agli estremi, che é|ω 2 (±1)| = 1 − a 2 . Si avrá quindi:‖ω 2 ‖ ∞ = max(|ω 2 (±a/ √ ( )2a33)|, |ω 2 (±1)|) = max3 √ 3 , 1 − a2 .Delle due quantitá che compaiono, la prima é monotona crescente con a, la secondamonotona decrescente. Il valore minimo di ‖ω 2 ‖ ∞ si avrá perció quando le due quantitásono uguali, ovvero2a 33 √ 3 = 1 − a2 ,e si verifica immediatamente che il valore a = √ 3/2 soddisfa questa equazione. Si puóosservare che questa scelta dei nodi fornisce la stima di errore|f(x) − P 2 (x)| ≤ ‖f ′′′ ‖ ∞3!34 = 124 ≈ 0.042.contro il valore 0.065 ottenuto per a = 1. La stima di errore per una distribuzionegenerica dei nodi sarebbe invece stata|f(x) − P 2 (x)| ≤ ‖f ′′′ ‖ ∞2 3 = 4 3! 3 ≈ 1.33.16