Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.b) Definendo ad esempio f(x) = e x − 2 cos x, si ha che per il metodo di bisezione ébanalmente accettabile l’intervallo [0, π/2], ed infatti f(0) = −1, f(π/2) = e π/2 > 0.Tale intervallo é in effetti accettabile anche per il metodo delle corde. Scritta lafunzione di iterazione comesi ha α ≈ 0.27, ed inoltreg(x) = x − αf(x) = x −π/2f(π/2) − f(0) f(x),g ′ (x) = 1 − αf ′ (x) = 1 − α(e x + 2 sin x).Poiché nell’intervallo considerato si ha 1 ≤ e x + 2 sin x ≤ e π/2 + 2 ≈ 6.81, si ha ancheper la costante di contrazione la maggiorazionemax[0,π/2] |g′ (x)| = |g ′ (π/2)| = 1 − α(e π/2 + 2) ≈ 0.84.Il metodo delle corde é quindi convergente anche se non particolarmente efficiente.Esercizio 3.c) L’esercizio é analogo al 3.c del 03.02.03. Indichiamo con H l’ampiezza dei sottointervallidi interpolazione e con h = H/2 il passo tra i nodi. Si puó maggiorare l’errore diinterpolazione come|f(x) − Π 2,H (x)| ≤ max [0,10] |f ′′′ (ξ)|‖ω 2 ‖ ∞ ≤ 10 −36dove max [0,10] |f ′′′ (ξ)| = 1. Maggiorando ‖ω 2 ‖ ∞ con H 3 = 8h 3 si ottieneh ≤ (0.75 · 10 −3 ) 1/3 ≈ 0.091che corrisponde a 111 nodi. Se per ‖ω 2 ‖ ∞ si utilizza la stima piú precisa, si ha lacondizioneh ≤ (9 √ 3 · 10 −3 ) 1/3 ≈ 0.25corrispondente a 41 nodi.149