Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

c) Occorre sostituire i valori u j e f(x j , u j ) con opportuni sviluppi di Taylor della soluzione.Posto:f(x k , u k ) = y ′ (x k ),y(x k−1 ) = y(x k ) − hy ′ (x k ) + h22 y′′ (x k ) + O(h 3 ),f(x k−1 , u k−1 ) = y ′ (x k−1 ) = y ′ (x k ) − hy ′′ (x k ) + O(h 2 ).Effettuando la verifica di consistenza, si ottieney(x k+1 ) = a 0 y(x k )+a 1 [y(x k )−hy ′ (x k )+ h22 y′′ (x k )]+h[(b 0 +b 1 )y ′ (x k )+hb 1 y ′′ (x k )]+O(h 3 ).Il secondo membro coincide con il corretto sviluppo di y(x k+1 ) sotto le condizioni:a 0 + a 1 = 1,b 0 + b 1 − a 1 = 1,a 1 − 2b 1 = 1.d) Ad esempio, il metodo midpoint a due passi, per il quale la condizione delle radicifornisce i due valori ζ = ±1.184