Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b, c) La matrice Jacobiana della trasformazione x k+1 = T (x k ) é data daLa condizione⎛⎞0 −1/10 −1/10B = ⎝ −1/α 0 −1/α ⎠ .−2/β −1/β 0( )2‖B‖ ∞ = max5 , 2|α| , 2< 1|β|si traduce nella consueta condizione di dominanza diagonale stretta, |α| > 2 e |β| > 3.Nel caso della norma( 1‖B‖ 1 = max|α| + 2|β| , 110 + 1|β| , 1 10 + 1 )|α|la condizione ‖B‖ 1 < 1 si traduce nel sistema di disuguaglianze⎧⎨ |β| + 2|α| < |α||β||β| > 10/9⎩|α| > 10/9.Si puó osservare che nessuna di queste due condizioni include l’altra. Infatti, adesempio, la coppia α = 9/4, β = 13/4 soddisfa la condizione di contrattivitá solo nellanorma ‖ · ‖ ∞ , mentre la coppia α = 4, β = 3 soddisfa la condizione di contrattivitásolo nella norma ‖ · ‖ 1 .Esercizio 2.Il polinomio interpolatore di Newton della f costruito sui nodi x k−2 , x k−1 , x k éΠ 2 (x) = f[x k−2 ] + f[x k−2 , x k−1 ](x − x k−1 ) + f[x k−2 , x k−1 , x k ](x − x k−2 )(x − x k−1 ) =[]= f[x k−2 , x k−1 , x k ]x 2 + f[x k−2 , x k−1 ] − f[x k−2 , x k−1 , x k ](x k−2 + x k−1 ) x+]+[f[x k−2 ] − f[x k−2 , x k−1 ]x k−2 + f[x k−2 , x k−1 , x k ]x k−2 x k−1 =dove si é posto= ax 2 + bx + ca = f[x k−2 , x k−1 , x k ],b = f[x k−2 , x k−1 ] − f[x k−2 , x k−1 , x k ](x k−2 + x k−1 ),c = f[x k−2 ] − f[x k−2 , x k−1 ]x k−2 + f[x k−2 , x k−1 , x k ]x k−2 x k−1 .64