Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 05.04.12Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Eliminazione di Gauss con pivotazione (4 punti);b) dimostrare che nella fattorizzazione LU la matrice L é costituita dai moltiplicatori (6punti).Esercizio 2.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari ed enunciarnei risultati di convergenza (4 punti);b) dimostrare il teorema di convergenza relativo al metodo di Richardson (5 punti);c) dimostrare che non esiste alcun valore del passo β tale da far convergere il metodo diRichardson in sistemi con matrici simmetriche indefinite (4 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti);b) data l’equazionearctan x − x 2 = 0,trovare un intervallo adatto a costruire un metodo delle corde convergente alla radicestrettamente positiva (4 punti);c) dire se isolando direttamente la variabile x in (∗) puó essere ottenuto un metodoiterativo (nella forma x k+1 = g(x k )) convergente alla stessa radice (4 punti);(∗)220
ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 12.04.12Esercizio 1.a) Descrivere il Metodo di Newton per la soluzione di sistemi nonlineari e le sue variantiprincipali (4 punti);b) dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti);c) dato il sistema lineare{ −5x1 + 2x 2 = 3−x 1 + 3x 2 = 1dire se é possibile (ed eventualmente come) costruire un metodo iterativo convergentenella forma( )x (k+1) = x (k) − P Ax (k) − b ,con P = diag(β 1 , β 2 ) (4 punti).Esercizio 2.a) Enunciarne e dimostrare il teorema di convergenza dei metodi di discesa in ricercaparziale o passo fisso (6 punti);b) descrivere le strategie di ricerca parziale di Armijo–Goldstein e di Wolfe–Powell (5punti);Esercizio 3.a) Descrivere le principali strategie di scelta delle direzioni di ricerca nei metodi di discesa,ed enunciarne i relativi risultati di convergenza in ricerca esatta (4 punti);b) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza del metodo delle Direzioni Coniugateper forme quadratiche (6 punti).in alternativa: dimostrare che le direzioni generate tramite il metodo del GradienteConiugato sono coniugate (10 punti).221
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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SoluzioniEsercizio 1.a) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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SoluzioniEsercizio 1.b) Le differen
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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SoluzioniEsercizio 2.b) Ricordiamo
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cif
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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Tenendo conto delle relazioni di si
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