Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 1.b) Supponendo di ordinare i punti come appaiono nella tabella, si haf[x 0 , x 1 ] = 0.81, f[x 1 , x 2 ] = 0.576, f[x 2 , x 3 ] = 0.406, f[x 3 , x 4 ] = 0.27,f[x 0 , x 1 , x 2 ] = −0.234, f[x 1 , x 2 , x 3 ] = −0.113, f[x 2 , x 3 , x 4 ] = −0.054(∗),f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] = 0.061(∗),f[x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = 0.02(∗),f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = 0.012(∗)(i calcoli sono stati effettuati con tre cifre decimali e segnalando con l’asterisco laperdita di una cifra significativa). La forma risultante per il polinomio di Newton é:Π 4 (x) = 0.81 (x − 1) − 0.234 (x − 1)(x − 1.5) + 0.061 (x − 1)(x − 1.5)(x − 2)++0.012 (x − 1)(x − 1.5)(x − 2)(x − 3)Esercizio 2.b) Scritta la retta nella forma y = ax + b, il sistema delle equazioni normali é dato daed ha soluzione a = −0.792, b = −0.507.c) Poiché{ 3.38 a − b = −2.169−a + 7 b = −2.757∫ 1−1(ax + b)dx = 2b,si ha, nel caso specifico della tabella, che l’integrale approssimato vale I 1 (f, −1, 1) =−1.014. Nel caso generale, si tratta di sostituire al valore specifico di b quello cherisulta dalla soluzione del sistema delle equazioni normali. Si ottiene quindi, a contifatti:∑iI 1 (f, −1, 1) = 2b = 2x2 i · ∑i y i − ∑ i x i · ∑i x iy im ∑ i x2 i − (∑ i x i) 2 .158
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 09.06.08Esercizio 1.a) Illustrare i principali metodi, sia diretti che iterativi, per la soluzione di sistemi linearicon matrice definita positiva e confrontarli in termini di complessitá ed occupazionedi memoria (5 punti);b) dato il sistema lineare{ x1 + x 2 = 13x 1 + 2x 2 = 5trasformarlo in un sistema equivalente, ma dotato di una matrice simmetrica e definitapositiva, e calcolare in numero di condizionamento (in una norma a piacere) in entrambii casi (1+4 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di Newton per la soluzione di equazioni scalari, e le sue principalivarianti (3 punti);b) scrivere esplicitamente il metodo per l’equazionelog x − x 2 + 10 = 0e trovarne una regione di convergenza monotona per ognuna delle radici (1+4 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare la esistenza ed unicitá del polinomio interpolatore basandosi sulla formadi Lagrange (5 punti);b) descrivere la strategia di interpolazione composita, enunciando e dimostrando la maggiorazionedell’errore per questo caso (2+4 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare una maggiorazione esplicita di errore (se possibile, ottimale)per la formula dei trapezi composita (4 punti);b) utilizzare questa formula di quadratura per approssimare l’integrale∫ 100xe −x dx,suddividendo l’intervallo di integrazione in 5 sottointervalli (3 punti).159
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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