Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Per calcolare ad esempio α 2 si ha:α 2 =∫ 1−1L 2 (x) = 1 − x2L 2 (x) =∫ 1−1a 21 − x2a 2 dx = 2 − 23a 2e di conseguenzaα 1 = α 3 = 2 − α 2= 12 3a 2c) La condizione che il polinomio x 4 sia integrato esattamente fornisce:∫2 15 =−1x 4 dx = 13a 2 (−a)4 + 13a 2 a4 = 2 3 a2da cui si ottiene a = √ 3/5.d) La formula é esatta fino a polinomi di quinto grado. Infatti i termini fino al secondogrado sono integrati esattamente per costruzione, quelli di terzo e quinto grado perchéla formula é simmetrica e quelli di quarto grado in base al punto c). Essendo quindiuna formula a tre nodi esatta fino al quindo grado, si tratta di una quadratura diGauss–Legendre.Esercizio 3.b) Si ha A = LL t con:⎛⎜L = ⎝2 0 0− 1 √112 20√12− 32 √ 11α − 5 11c) Ció é dovuto al fatto che la matrice non é definita positiva per ogni valore di α (masolo, appunto, per α > 5/11).Esercizio 4.b) L’approssimazione di Eulero del sistema in esame ha la forma:{uk+1 = (1 − hα)u k + hv kv k+1 = (1 − hβ)v k .c) Si tratta di verificare che la matrice( )1 − hα hB =0 1 − hβabbia autovalori di modulo minore di 1. La condizione di stabilitá assoluta é quindiche implica h < min(2/α, 2/β).max(|1 − hα|, |1 − hβ|) < 122⎞⎟⎠