Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 04.06.02Esercizio 1.a) Scrivere la forma del polinomio di Lagrange relativo ad n + 1 nodi distinti x 0 , . . . , x n(2 punti);b) enunciare e dimostrare la formula di rappresentazione dell’errore (6 punti).Esercizio 2. Siano dati i valori di una funzione f(x) tabulati con intervallo costante hnei nodi x k = kh. Si supponga di ricostruire f in un punto generico x per interpolazionecubica utilizzando sempre i quattro nodi (due a destra e due a sinistra) piú vicini ad x.a) Basandosi sul calcolo degli estremi di ω 3 nell’intervallo di interesse, dare una maggiorazionedi errore ottimale per questa approssimazione (5 punti);b) costruire una formula di quadratura per f su un generico intervallo [x k , x k+1 ] basandosisui valori nei nodi x k−1 , . . . , x k+2 (4 punti);c) costruire la versione composita della formula di quadratura precedente ed approssimarein questo modo l’integrale∫ π0sin xdxcon passo h = π/4 (4 punti);d) Calcolare una maggiorazione esplicita dell’errore di quadratura e l’errore effettivo perl’integrale del punto (c) (2 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza di Polya per le formule di quadratura(6 punti);b) applicare il teorema di Polya alla convergenza delle formule gaussiane dopo aver dimostratola positivitá dei pesi (5 punti);c) calcolare con una formula gaussiana a 4 punti l’integrale dell’esercizio 2.c (3 punti).44