Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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) Si tratta di verificare che, data una funzione regolare u(x), si abbiau xx (x j ) = a −2 u(x j − 2h) + a −1 u(x j − h) + a 0 u(x j ) + a 1 u(x j + h) + a 2 u(x j + 2h) + o(1).(∗∗)Per dimostrare le condizioni che portano alla consistenza (di fatto si tratta di provarela consistenza del primo ordine, poiché il resto o(1) é in realtá O(h)) si parte daglisviluppi di Tayloru(x j ± h) = u(x j ) ± hu x (x j ) + h22 u xx(x j ) + O(h 3 )u(x j ± 2h) = u(x j ) ± 2hu x (x j ) + 2h 2 u xx (x j ) + O(h 3 ).Utilizzando questi sviluppi in (∗∗) e imponendo che il secondo membro coincida conu xx (x j ) a meno di infinitesimi (di primo ordine), si ottengono le condizioni di consistenza⎧⎨ a −2 + a −1 + a 0 + a 1 + a 2 = 0−2a −2 − a −1 + a 1 + 2a 2 = 0(∗ ∗ ∗)⎩2h 2 a −2 + h22 a −1 + h22 a 1 + 2h 2 a 2 = 1.c) I rapporti incrementali secondi utilizzati sono quello centrato in x j−1 ,e quello centrato in x j+1 ,u(x j−2 ) − 2u(x j−1 ) + u(x j )h 2 ,u(x j ) − 2u(x j+1 ) + u(x j+2 )h 2 .Effettuando la media aritmetica dei due, come richiesto dall’esercizio, si ottiene laapprossimazioneu xx (x j ) ≈ 12h 2 u(x j−2) − 1 h 2 u(x j−1) + 1 h 2 u(x j) − 1 h 2 u(x j+1) + 12h 2 u(x j+2)che é nella forma di una differenza centrata a cinque punti e soddisfa il sistema (∗ ∗ ∗)delle condizioni di consistenza (come é immediato verificare).d) Osserviamo intanto che il sistema (∗ ∗ ∗) ammette infinite soluzioni, é quindi verosimileche ci sia margine per ottenere un ordine piú alto di consistenza. Utilizzandoun termine in piú negli sviluppi ed annullando il termine di derivata terza nella approssimazione(questo permette di ottenere un resto infinitesimo di secondo ordine),si ottiene la ulteriore condizione da aggiungere al sistema (∗ ∗ ∗):− 4 3 a −2 − 1 6 a −1 + 1 6 a 1 + 4 3 a 2 = 0.D’altra parte, si verifica facilmente che la formula costruita al punto (c) soddisfa anchequesta ultima condizione, ed é quindi consistente (almeno) con ordine 2.76
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 20.01.04Esercizio 1.a) Derivare la formula di fattorizzazione di Cholesky per una matrice quadrata definitapositiva (5 punti);b) calcolarne la complessitá computazionale (3 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza quadratica per il metodo di Newton(6 punti);b) supponendo di cercare il reciproco di un numero reale a come radice dell’equazionef(x) = 1 x − a = 0,scrivere il metodo di Newton per la sua soluzione (in modo tale da non dover effettuaredivisioni) e dare una approssimazione iniziale per cui la successione delleapprossimazioni sia sicuramente convergente (4 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare la forma di Newton del polinomio interpolatore (6 punti);b) scrivere la tabella delle differenze divise di ordine fino al terzo relativa alla funzionef(x) = 1/x 2 ed ai nodi x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4, lavorando con tre cifre decimalie segnalando eventualmente quali differenze presentino perdita di cifre significative persottrazione (4 punti).Esercizio 4. Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle formule di Newton–Cotes composite (6 punti).77
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