Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Si ha, dopo aver calcolato la Jacobiana in (x k , y k ):( ) ( ) ( )2 sin xk cos x k 2y k xk+1 − x k y2= − k− cos 2 x k1 − cos y k y k+1 − y k x k − sin y k .c) Da un sommario studio grafico si vede che la soluzione é strettamente all’internodell’intervallo [0, 1] 2 . Una approssimazione iniziale per cui si ottengono calcoli relativamentesemplici é (x 0 , y 0 ) = (π/4, π/4). La Jacobiana e la sua inversa valgono inquesto puntoJ F (x 0 , y 0 ) =( )1 π/21 − √ , J2/2 F (x 0 , y 0 ) −1 = −√ 2 ( √− 2/22 + π −1 1Il metodo delle corde, con questa scelta, ha la forma( ) ( )xk+1 xk= +y k+1 y k( √2 − 2/2 −π/2√2 + π −1 1−π/2) ( )y2k− cos 2 x k.x k − sin y kNon viene invece calcolata la costante di Lipschitz del secondo membro, che richiedeun calcolo molto complesso.d) Tenendo conto che ci si restringe al quadrante positivo, possiamo riscrivere il sistemanella forma{ x = sin yy = cos x,dove il secondo membro T (x, y) ha una jacobiana data daJ T (x, y) =( )0 cos y,− sin x 0e quindi é possibile determinare un intorno della soluzione in cui entrambi i termininonnulli di J T (e quindi sia ‖J T ‖ 1 che ‖J T ‖ ∞ ) sono minori di 1.Esercizio 2.c) In realtá, data la struttura della funzione, si potrebbe applicare la bisezione prima suuna variabile e poi sull’altra, ottenendo comunque chiaramente il risultato corretto.Quindi, applicare l’algoritmo proposto porta ad effettuare sull’intervallo iniziale glistessi dimezzamenti successivi che sarebbero effettuati appicando due bisezioni unidimensionaliin sequenza. Nel caso invece di una funzione di struttura generale, non épiú vero ad esempio che, fissato un valore ¯x 1 per x 1 , l’intervallo della variabile x 2 checontiene il min x2 f(¯x 1 , x 2 ) sia lo stesso che contiene min x f(x 1 , x 2 ), che corrisponde ingenerale ad un altro valore della variabile x 1 .181).