Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 08.02.10Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaesatta (6 punti);b) discutere la sua applicazione alle varie possibili strategie di scelta delle direzioni diricerca (2 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di ricerca parziale di Wolfe–Powell e verificare che soddisfa lecondizioni di convergenza (2+5 punti);b) scriverne l’algoritmo in forma di diagramma di flusso o pseudocodice (3 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare che la condizione di lipschitzianitá implica la zero–stabilitá nei metodi adun passo (5 punti);b) verificare che il seguente metodo ad un passo:( )uk + u k+1u k+1 = u k + f2soddisfa la condizione di lipschitzianitá (3 punti).Esercizio 4.a) Descrivere la strategia generale di costruzione dei metodi di Adams (2 punti);b) costruire il metodo di Adams–Bashforth a due passi (3 punti);c) verificarne consistenza e zero–stabilitá (3+2 punti).190
SoluzioniEsercizio 3.b) Indicando con u e v i due argomenti, si ha:da cui si ottiene quindiEsercizio 4.b) Si veda l’esame del 12.09.05.Φ(u, v) = f( u2 + v 2),(∥ u1‖Φ(u 1 , v 1 ) − Φ(u 2 , v 2 )‖ = ∥f2 + v ) (1 u2− f2 2 + v 22∥ ∥∥ u 1≤ L f2 + v 12 − u 22 − v 2∥ ≤2≤ L f2 (‖u 1 − u 2 ‖ + ‖v 1 − v 2 ‖).)∥ ∥∥ ≤191
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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SoluzioniEsercizio 1.a) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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SoluzioniEsercizio 1.c) L’equazio
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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SoluzioniEsercizio 1.b) Le differen
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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SoluzioniEsercizio 2.b) Ricordiamo
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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SoluzioniEsercizio 1.a) Procedendo
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e la costante di contrazione richie
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SoluzioniEsercizio 2.c) Con sei cif
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Se l’argomento del valore assolut
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