Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.b) Ovviamente l’equazione va preventivamente riscritta comef(x) = sin x − 1 4 = 0.Per applicare il metodo delle corde, si puó tentare ad esempio di utilizzare i puntia = 0 e b = π/6, in cui il valore della funzione é rispettivamente f(a) = −1/4, ef(b) = 1/4. Il metodo delle corde assume con questa scelta la formax k+1 = x k − π 3(sin x k − 1 )= g(x k ).4Per calcolare la costante di contrazione, si deriva la funzione di iterazione g ottenendog ′ (x) = 1 − π 3cos x.Poiché la funzione cos x é monotona nell’intervallo [a, b] anche g ′ lo é, e quindi percalcolare il suo massimo modulo L g basta considerare gli estremi, ovvero( ∣∣∣1L g = max(|g ′ (0)|, |g ′ π(π/6)|) = max − ∣ ,3 ∣ 1 − π √ )3≈ 9.31 · 10 −2 .3 2 ∣Trattandosi di un valore di poco inferiore a 10 −1 , la precisione richiesta si otterrá dopotre iterazioni.Esercizio 3.b) Per un qualche misterioso motivo, i dati di questo esercizio (e, di conseguenza, la suacorrezione) coincidono totalmente con quelli dell’esercizio 3.b del 04.02.08.Esercizio 4.b) Con sei decimali, I 2,2 (f, 0, 4) = 1.546528.175