Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 09.06.03Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo iterativo di Jacobi (5punti);Dato il sistema lineare { 10x1 + x 2 + x 3 = 2x 1 + αx 2 + x 3 = 12x 1 + x 2 + βx 3 = 3,e supponendo di non riordinarne le righe, discutere al variare dei parametri α e β lacontrattivitá del metodo di Jacobib) nella norma ‖ · ‖ ∞ (3 punti);c) nella norma ‖ · ‖ 1 (4 punti);Esercizio 2. Basandosi sulla forma del polinomio di Newton di secondo grado relativoai nodi x k−2 , x k−1 e x k , costruire il metodo di Müller per la soluzione di equazioni scalari,esprimendo x k+1 come zero di Π 2 (x) (6 punti).Esercizio 3. Enunciare e dimostrare le stime di errore in funzione del passo h per leapprossimazioni polinomiali composite di grado generico n (5 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di Polya sulla convergenza delle formule di quadratura(6 punti);b) indipendentemente dall’esistenza di risultati di convergenza piú forti, dire (motivandol’affermazione) se la convergenza delle formule di Newton–Cotes composite per gliintegrali di funzioni continue puó essere dedotta dal teorema di Polya (5 punti).63