Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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SoluzioniEsercizio 2.c) Si puó ad esempio partire dall’intervallo [1/2, 1] per cui si ha f(1/2) < 0, f(1) > 0.Essendo la precisione di macchina in aritmetica float dell’ordine di 10 −7 , e l’ampiezzainiziale b 0 − a 0 = 1/2, la precisione richiesta si ottiene alla ventiduesima iterazionecirca.Esercizio 3.b) Le due funzioni di base sonoL 0 (x) = 1 2 − x, L 1(x) = 1 2 + x.Nell’intervallo [−1/2, 1/2] entrambe sono positive e a somma unitaria e quindi inquesto intervallo la funzione di Lebesgue vale Λ(x) ≡ 1, mentre ad esempio per x > 1/2si ha∣ Λ(x) =1 ∣∣∣∣2 − x +∣ x + 1 2∣ == x − 1 2 + x + 1 2 = 2x,che ha massimo in x = 1. Poiché la situazione é simmetrica per x < −1/2, si ottieneΛ 1 = Λ(±1) = 2.Esercizio 4.b) Con sei decimali, I 2,5 = 1.004912 (il risultato esatto é 1 − e −10 = 0.999955).198
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) – 14.06.10Esercizio 1.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricercaparziale o a passo fisso (6 punti);b) derivare (direttamente, o dal teorema precedente) le condizioni di convergenza per ilmetodo del gradiente a passo fisso, nel caso di funzioni quadratiche (3 punti);Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di penalizzazione per problemi di minimizzazione vincolata (2punti);b) enunciarne e dimostrarne il risultato di convergenza (6 punti);c) scrivere la formulazione penalizzata del problema min S f(x), conf(x) = x 2 2,S = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 1 + 2x 2 = 0}(2 punti);d) calcolare il massimo passo utilizzabile con un metodo del gradiente a passo fisso, infunzione del parametro di penalizzazione (3 punti).Esercizio 3. Derivare le condizioni di consistenza per gli schemi di Runge–Kutta diordine 2 (4 punti).Esercizio 4.a) Descrivere costruzione e caratteristiche generali degli schemi BDF (3 punti);b) costruire lo schema BDF a 2 passi (4 punti);c) verificare che soddisfa la condizione delle radici (3 punti).199
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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dove si sono indicate rispettivamen
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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é noto dalla teoria generale che l
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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