Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 10.09.12Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari ed enunciarnei risultati di convergenza (3 punti);b) dimostrare il risultato relativo al metodi di Richardson (5 punti);c) dato un sistema lineare con matriceA =(3)−1−1 4calcolare il valore del passo β nel metodo di Richardson in modo che la costante dicontrazione del metodo nella norma ‖ · ‖ 2 sia minima (3 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti);b) Data l’equazionesin x + e −x = 0,determinare un intervallo [a, b] per applicare il metodo delle corde nell’intorno dellaprima radice positiva, in modo che converga piú velocemente del metodo di bisezione(4 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la strategia di approssimazione per errore quadratico minimo (4 punti);b) si costruisca la approssimazione di errore quadratico minimo nella forma y = ae −xper la tabella di puntix iy i0 2.30.5 1.61 1.21.5 0.72 0.52.5 0.2calcolando il valore del parametro a (3 punti).Esercizio 4.Enunciare e dimostrare il teorema di Polya (6 punti).228
ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN420) – 13.09.12Esercizio 1.a) Enunciare il teorema di convergenza per i metodi di discesa in ricerca parziale o passofisso (6 punti);b) dimostrare che per β abbastanza piccolo il metodo del gradiente a passo fisso haconvergenza lineare e calcolarne o stimarne la costante di contrazione (4 punti).Esercizio 2.a) Descrivere il metodo di Newton per la soluzione di sistemi nonlineari e le sue variantiprincipali (4 punti);b) Dato il sistema { sin x − 2 cos y = 1−3 sin x + cos y = 2scrivere un metodo di Newton per la sua soluzione, senza ricorrere al calcolo di matriciinverse (3 punti).Esercizio 3.a) Descrivere le principali strategie duali di minimizzazione vincolata (3 punti).Costruire una versione penalizzata del problema vincolato min S f(x), conf(x 1 , x 2 ) = e x2 +y ; S = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : −1 ≤ x 1 , x 2 ≤ 1},b) in modo che la funzione penalizzata sia C 1 (2 punti);c) in modo che la funzione penalizzata sia C 2 (4 punti).Esercizio 4.a) Descrivere la strategia generale dei metodi di Runge–Kutta (3 punti);b) scritto un metodo di RK generico a due stadi, calcolarne le condizioni di consistenzadel secondo ordine (5 punti).229
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Roberto FerrettiESERCIZI D’ESAMED
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SoluzioniEsercizio 1.b) Se non vien
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ESONERO DI ANALISI NUMERICA (AN3) -
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Lo schema é quindi di secondo ordi
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SoluzioniEsercizio 1.b) La fattoriz
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ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN2) - 0
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e quindi ben piú sfavorevole.Eserc
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SoluzioniEsercizio 1.a) La necessit
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e la condizione g ′ (¯x) = 0 va
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SoluzioniEsercizio 2.a) Se [x k , x
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dove si sono indicate rispettivamen
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SoluzioniEsercizio 1.b) Occorre ver
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Nella fattorizzazione di Cholesky,
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La soluzione cercata é quindi data
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SoluzioniEsercizio 3.c) Si ha Π 2
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SoluzioniEsercizio 1.a) Il metodo d
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che é soddisfatta a maggior ragion
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é noto dalla teoria generale che l
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SoluzioniEsercizio 1.b) Come é fac
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In particolare, per n = 3, 5, 7 si
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e di conseguenza della Φ. Questo c
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e la costante di contrazione richie
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Se l’argomento del valore assolut
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D’altra parte, si ha∣max |f ∣
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Tenendo conto delle relazioni di si
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