Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.b) Il costo dominante é quello del calcolo di A t A, in cui ogni elemento richiede un prodottoscalare, quindi O(2n) operazioni. Il costo supplementare risulta perció di O(2n 3 )operazioni.c) Per il sistema originale si haA −1 = 132( )2 −56 1e quindi K ∞ (A) = 56/32 = 1.75. Per il sistema simmetrizzato si ottiene inveceB = A t A =( )37 −7, B −1 = 1 ( )29 7−7 291024 7 37per il quale il numero di condizionamento vale K ∞ (B) = 44 2 /1024 ≈ 1.89.Esercizio 3.b) Diamo per buono che si stiano supponendo equidistanti i nodi (il problema nel casopiú generale sarebbe estremamente piú complesso). Se il passo tra i nodi é h, si trattasemplicemente di richiedere che, nel caso peggiore tra tutti i sottointervalli, valga lamaggiorazione12 max |f ′′ (x)| h2[x i ,x i+1 ] 4 ≤ 10−3 ,in cui h 2 /4 é il massimo modulo del polinomio ω 1 tra i due nodi di interpolazione.Tenuto conto che sull’intervallo [1, 6] si ha ‖f ′′ ‖ ∞ = 2, si ottiene la condizioneh 2 ≤ 4 · 10 −3 ,che implica h ≤ 0.0632, ovvero di utilizzare almeno 81 nodi.Esercizio 4.b) Si ha, con sei decimali, I 4 = 1.773569.202