Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN410) – 08.06.12Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari enunciando irelativi risultati di convergenza (4 punti);b) dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di Jacobi (5 punti);c) dato il sistema lineare{ 2x1 − 5x 2 = 10−3x 1 + x 2 = 1dire se puó essere risolto con il metodo di Jacobi, ed in caso positivo quante iterazionisono necessarie per ridurre la norma ‖·‖ ∞ dell’errore a 10 −6 volte il suo valore iniziale(3 punti).Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il teorema sull’ordine di convergenza dei metodiiterativi per equazioni scalari, ed applicarlo al metodo di Newton (6 punti).Esercizio 3.a) Dimostrare la forma generale del polinomio di Newton e la formula delle differenzedivise (6 punti);b) data la seguente tabella di valori della funzione f(x) = e −x2 ,x f(x)−1.0 0.3679−0.5 0.77880.0 1.00.5 0.77881.0 0.3679costruire la tavola delle differenze (indicando le perdite di precisione per sottrazione)ed il polinomio di Newton (4+2 punti).Esercizio 4.a) Descrivere la strategia generale delle quadrature Gaussiane (3 punti);b) approssimare con la formula di Gauss–Legendre a quattro punti l’integrale∫ π−πsin xxdx(3 punti).224