Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 15.06.09Esercizio 1.a) Descrivere la fattorizzazione di Doolittle in assenza di pivotazione, e derivarne lafattorizzazione di Cholesky (4+2 punti);b) discutere l’eventuale vantaggio in termini di complessitá nell’uso di tali algoritmi perla soluzione di un sistema lineare (2 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo delle corde (5 punti).b) Individuare un intervallo utile per applicare il metodo delle corde all’equazionesin x = 1 4nell’intorno della prima radice positiva, prendendo gli estremi a e b esclusivamente inpunti in cui é noto esplicitamente il valore del seno, e calcolare la costante di contrazionedel metodo. Calcolare inoltre il numero di iterazioni necessarie per ottenereun errore pari ad un millesimo dell’errore iniziale (3+2 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare l’esistenza ed unicitá del polinomio interpolatore basandosisulla forma di Lagrange (5 punti);b) definire la costante di Lebesgue Λ n associata ad un intervallo I e ad un certo insiemedi nodi x 0 , . . . , x n , e calcolarla per la scelta I = [−1, 1], x 0 = −1, x 1 = 0, x 2 = 1/2 (4punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle quadrature di Newton–Cotescomposite (6 punti);b) Utilizzare una quadratura di Simpson composita su due sottointervalli per approssimarel’integrale(3 punti).∫ 40x 2 e −x dx174