Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 16.07.09Esercizio 1.a) Descrivere i principali metodi iterativi per sistemi lineari enunciandone i relativi risultatidi convergenza, e dimostrare quello relativo al metodo di Jacobi (3+5 punti);b) dato il sistema lineare{ −x1 + 5x 2 + 3x 3 = 43x 1 − x 2 − x 3 = 15x 1 − x 2 + 10x 3 = −3dire se il metodo di Jacobi puó essere applicato, ed in caso affermativo calcolarne lacostante di contrazione nelle norme ‖ · ‖ 1 e ‖ · ‖ ∞ (3 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di bisezione (5 punti).b) Individuare un intervallo utile per applicare il metodo di bisezione all’equazionee −x sin x = 0nell’intorno della prima radice positiva, e calcolare il numero di iterazioni necessarieper ottenere un errore pari ad un milionesimo dell’errore iniziale (3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare la forma di Newton del polinomio interpolatore (6 punti);b) supponendo di interpolare la funzione f(x) = sign(x) mediante nodi equispaziati conpasso ∆x, dimostrare che se 0 ∈ [min(x 0 , . . . , x k ), max(x 0 , . . . , x k )], allora(4 punti).f[x 0 , . . . , x k ] = O(∆x −k )Esercizio 4.a) Descrivere la costruzione delle quadrature di Newton–Cotes semplici e composite edenunciarne i principali risultati teorici (4 punti);b) costruire la formula di quadratura di Simpson (3 punti).176