Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 3.b) Si tratta di integrare tra x k ed x k+1 il polinomio interpolatore di f j ≡ f(x j , u j )costruito sui nodi x k ed x k−1 . Ponendo convenzionalmente h = 1 ed x k = 0, ilpolinomio interpolatore ha la formaed integrandolo in [0, 1] si ha∫ 10Π 1 (x) = f k−1 (−x) + f k (x + 1),∫ 1∫ 1Π 1 (x)dx = f k−1 (−x)dx + f k (x + 1)dx = − 1 2 f k−1 + 3 2 f k,0ottenendo quindi lo schema[ 3u k+1 = u k + h2 f(x k, u k ) − 1 ]2 f(x k−1, u k−1 ) .0Esercizio 4.b) Ricordiamo che la derivata di un prodotto di k + 1 funzioni si ottiene sommando k + 1termini in cui ”si deriva una funzione per volta”, ad esempio:D(fgh) = f ′ gh + fg ′ h + fgh ′ .Nel caso dei polinomi (x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − x k ), si ha D(x − x j ) = 1 e quindiD [ (x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − x k ) ] == (x−x 1 ) · · · (x−x k )+(x−x 0 )(x−x 2 ) · · · (x−x k )+· · ·+(x−x 0 )(x−x 1 ) · · · (x−x k−1 )da cui si ha, tenendo conto che il passo tra i nodi é stato indicato con h:D [ (x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − x k ) ] x=x 0= (x 0 − x 1 ) · · · (x 0 − x k ) = O(h k ).Derivando in x 0 il polinomio di Newton si ottiene perció[ ]D Π n (x) = f[x 0 , x 1 ] + f[x 0 , x 1 , x 2 ] O(h) + · · · + f[x 0 , . . . , x n ] O(h n−1 )x=x 0ed infine, passando al limite per h → 0 e tenendo conto che f[x 0 , x 1 ] é il rapportoincrementale:[ ]lim D Π n (x) = f ′ (x 0 )h→0 x=x 0(in cui si é anche tenuto conto del fatto che le differenze divise successive coincidonoa meno di costanti con i rapporti incrementali di ordine superiore al primo, e restanoquindi limitate per h → 0 se f é regolare).125