Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 04.02.08Esercizio 1.a) Descrivere i metodi di soluzione di sistemi lineari Ax = b per fattorizzazione dellamatrice A ed in particolare i metodi di Doolittle e Cholesky (4 punti);b) risolvere il sistema lineare{ 25x1 + 10x 2 = 510x 1 + 5x 2 = 4mediante il metodo diretto di complessitá asintotica piú bassa (4 punti).Esercizio 2.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza per il metodo di bisezione (5 punti);b) data l’equazionesin x + x − 1 = 0individuare un intervallo in cui possa essere applicato il metodo di bisezione e calcolarequante iterazioni sono necessarie per ottenere un errore minore di 10 −4 (1+3 punti).Esercizio 3.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle approssimazioni per interpolazionein una base generica (6 punti);b) calcolare la costante di Lebesgue nell’intervallo [−1, 1] per un polinomio interpolatorecostruito sui nodi x 0 = −1, x 1 = 0, x 2 = 1/2 (4 punti).Esercizio 4. Dopo aver descritto la strategia di quadratura di Gauss–Legendre, enunciarei principali risultati relativi a queste formule e dimostrare il teorema di positivitá dei pesi(2+6 punti).152