Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 2.b) Il sistema si puó riscrivere nella forma{ 3x1 = −x 2 − x 3 + 24x 2 = −x 1 + 54x 3 = −2x 2 + 20e l’algoritmo di Jacobi da’⎛⎞ ⎛x (k+1) = ⎝0 −1/3 −1/3−1/4 0 0 ⎠ x (k) + ⎝ 2/3⎞5/4 ⎠ = Bx (k) + C.0 −1/2 05La costante di contrazione dell’operatore vale∑L = ‖B‖ ∞ = max |b ij | = 2i3 .Esercizio 4.a) Esplicitiamo il calcolo del coefficiente relativo al nodo x 0 . PoichéL 0 (x) =si ha ∫ 3L 0 (x)dx =0(x − 1)(x − 2)(x − 3)−6∫ 30j= − 1 6 x3 + x 2 − 11 6 x + 1(− 1 6 x3 + x 2 − 11 6 x + 1 )dx == − 124 [x4 ] 3 0 + 1 3 [x3 ] 3 0 − 1112 [x2 ] 3 0 + 3 = 3 8 .Con calcoli analoghi si ottiene∫ 30L 1 (x)dx =∫ 30∫ 30L 3 (x)dx = 3 8 ,L 2 (x)dx = 9 8 ,e di conseguenza la formula di quadratura richiesta é∫ 3b, c, d) Nell’ordine, si hanno le quadrature:0f(x)dx ≈ 3h 8 (f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )).3(f(−1.5) + 3f(−0.5) + 3f(0.5) + f(1.5)) = 1.83135,81.5(f(−1.5) + 4f(0) + f(1.5)) = 2.1054,30.5(f(−1.5) + 2f(−1) + . . . + 2f(1) + f(1.5)) = 2.1467.214