Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

SoluzioniEsercizio 1.c) La funzione penalizzata puó essere definita in modo standard comef ε (x) = −x 1 + 1 ε (x2 1 + 2x 2 2 − 1) 2 .d) Le condizioni di stazionarietá sono quindi⎧⎨ ∂f ε∂x 1= −1 + 4 ε (x3 1 + 2x 1 x 2 2 − x 1 ) = 0⎩ ∂f ε∂x 2= 8 ε (x2 1x 2 + 2x 3 2 − x 2 ) = 0e trattandosi di un sistema di terzo grado, non é possibile trovare espicitamente unasoluzione (a parte la ovvia condizione x 2 = 0). Per dare un ordine di grandezza delcondizionamento della Hessiana, si potrebbe provare a calcolarla invece nel punto diminimo del problema esatto, che é in (1, 0). La matrice Hessiana é data daH fε (x 1 , x 2 ) = 4 εe calcolandola nel minimo si ottiene(3x21 + 2x 2 2 − 1 4x 1 x 2)4x 1 x 2 2x 2 1 + 12x 2 2 − 2H fε (1, 0) = 4 ε( )2 0.0 0Trattandosi di una matrice singolare, il suo numero di condizionamento é infinito.Nel punto di minimo del problema penalizzato, la derivata parziale seconda fattadue volte rispetto a x 2 sarebbe stata invece nonnulla, e la matrice Hessiana sarebberisultata diagonale. D’altra parte, la differenza tra il minimo vincolato esatto x ∗ equello penalizzato x ∗ ε (si veda ad esempio l’esercizio 2.c del 04.06.99) ha ordineNel minimo penalizzato si ha quindiH fε (x ∗ ε) = 4 ε‖x ∗ − x ∗ ε‖ = O(ε).( ) (2 + O(ε) 08= ε + O(1) 0),0 O(ε) 0 O(1)e dato che la matrice é diagonale, il numero di condizionamento coincide con il rapportotra gli autovalori, da cui K(H fε ) = O(1/ε).Esercizio 3.183