Esercizi svolti di esame ed esonero - Dipartimento di Matematica

ESAME DI ANALISI NUMERICA (AN1) – 23.01.06Esercizio 1.a) Descrivere l’algoritmo di Eliminazione di Gauss, nella versione con pivotazione parziale(3 punti);b) dimostrare che nella fattorizzazione LU di una matrice il fattore L ha per elementifuori diagonale i moltiplicatori (5 punti).Esercizio 2.a) Dare una panoramica dei principali metodi iterativi per equazioni scalari nella formax k+1 = g(x k ) (3 punti);b) enunciare e dimostrare il teorema relativo all’ordine di convergenza di tali metodi edapplicarlo al metodo di Newton (5 punti);c) intendendo trovare le radici dell’equazionex + tan x = 0,con il metodo di Newton, studiare il problema di scegliere l’approssimazione inizialex 0 a seconda della radice di interesse, in modo che il metodo sia convergente (3 punti).Esercizio 3.a) Descrivere la strategia di approssimazione per Errore Quadratico Minimo (3 punti);b) Data la tabellax iy i−1.0 −0.2−0.5 0.80.0 0.60.5 −0.11.0 1.1costruire il sistema lineare che definisce la approssimazione nella base φ 1 (x) = 1,φ 2 (x) = x, φ 3 (x) = sin(πx) (5 punti).Esercizio 4.a) Enunciare e dimostrare il teorema di convergenza delle formule di Newton–Cotes composite(6 punti);b) dare la forma composita della formula di NC aperta di grado 1 ed integrare con questaformula la funzione sin x in [0, π] utilizzando due sottointervalli (3 punti).126